Question

函數f（x）=

kx+1，x≤0 lnx，x＞0

，下列關于函數y=f[f（x）]+1的零點個數的判斷正確的是（　�。�

• A、無論k為何值，均有2個零點
• B、無論k為何值，均有4個零點
• C、當k＞0時，有3個零點；當k＜0時，有2個零點
• D、當k＞0時，有4個零點；當k＜0時，有1個零點

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：因為函數f（x）為分段函數，函數y=f（f（x））+1為復合函數，故需要分類討論，確定函數y=f（f（x））+1的解析式，從而可得函數y=f（f（x））+1的零點個數；

解答： 解：分四種情況討論．
（1）x＞1時，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此時的零點為x=e

1

e

＞1；
（2）0＜x＜1時，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，則k＞0時，有一個零點，k＜0時，klnx+1＞0沒有零點；
（3）若x＜0，kx+1≤0時，y=f（f（x））+1=k²x+k+1，則k＞0時，kx≤-1，k²x≤-k，可得k²x+k≤0，y有一個零點，
若k＜0時，則k²x+k≥0，y沒有零點，
（4）若x＜0，kx+1＞0時，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，則k＞0時，即y=0可得kx+1=

1

e

，y有一個零點，k＜0時kx＞0，y沒有零點，
（5）x=0時，顯然函數無零點；
綜上可知，當k＞0時，有4個零點；當k＜0時，有1個零點；
故選：D．

點評：本題考查分段函數，考查復合函數的零點，解題的關鍵是分類討論確定函數y=f（f（x））+1的解析式，考查學生的分析能力，是一道中檔題．