Question

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＞（k-1）x-k恒成立，求正整數(shù)k的值．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.6931，ln3=1.0986）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1．令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)$x＞\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（{0，\frac{1}{e}}）$，單調(diào)遞增區(qū)間為$（{\frac{1}{e}，+∞}）$．
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＞（k-1）x-k恒成立，
即k（x-1）＜xlnx+x恒成立，
又x-1＞0，則k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，則g'（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
設(shè)h（x）=x-lnx-2，則h'（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∵x∈（1，+∞），
∴h'（x）＞0，則h（x）=在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）=-1＜0，h（2）=-ln2＜0，
h（3）=1-ln3＜0，h（4）═2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h（x₀）=0，
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞））時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）的最小值g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}l{nx}_{0}{+x}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
∵h(yuǎn)（x₀）=x₀-lnx₀-2，∴l(xiāng)nx₀=x₀-2，
∴g（x₀）=$\frac{{x}_{0}{（x}_{0}-2）{+x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=x₀，
∴k＜g（x）_min=x₀，∵3＜x₀＜4，∴k≤3，
∴k的值為1，2，3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．