【題目】已知函數(shù)

(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;

(2)存在極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn),求證:

【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

1)根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處切線方程的求法求出可得;

2)函數(shù)存在極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn),即有兩個(gè)零點(diǎn),且在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號(hào),依據(jù)根的存在性定理,確定根所在區(qū)間即可求解.

(1)解:

,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為;

(2)設(shè),則,設(shè),則

所以上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>,所以在上,,即

所以上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),,所以在上,,即

所以函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù).

是奇函數(shù),所以函數(shù)上單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),

又因?yàn)楹瘮?shù)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

x

0,

(,+∞)

-

0

+

極小值

可知的唯一極小值點(diǎn),且

是奇函數(shù),所以函數(shù)必存在唯一極大值點(diǎn),記為,且,

所以,所以成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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