Question

10．已數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，且滿S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1（n∈N^*，n≥2），a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，若T_n＜2m-1對任意的正整數(shù)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）n≥2，由S_n（1+2S_n-1）=S_n-1，由上式知若S_n-1≠0，則S_n≠0，將原式兩邊同除以S_n•S_n-1，即可求得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，求得S_n=$\frac{1}{2n-1}$，a_n=-2S_n•S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，當(dāng)n=1，a₁=1．即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n-1，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，采用“裂項(xiàng)法”即可求得T_n=$\frac{n}{2n+1}$，由T_n＜2m-1，轉(zhuǎn)換成m＞$\frac{1}{2}$×$\frac{3n+1}{2n+1}$，對任意的正整數(shù)恒成立，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴S_n（1+2S_n-1）=S_n-1，由上式知若S_n-1≠0，則S_n≠0．
∵S₁=a₁≠0，由遞推關(guān)系知S_n≠0．n∈N^*，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，S₁=a₁=1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，（n∈N^*，n≥2），
S_n-1=$\frac{1}{2n-3}$
∴a_n=-2S_n•S_n-1=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n-1，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，
=$\frac{1}{2}$×[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n＜2m-1，即$\frac{n}{2n+1}$＜2m-1，
即m＞$\frac{1}{2}$×$\frac{3n+1}{2n+1}$，
由$\frac{3n+1}{2n+1}$＜$\frac{3}{2}$，
∴m≥$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．