Question

7．已知f（x）=x²+2ax+b²．
（1）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）有零點(diǎn)的概率
（2）若a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）有零點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的判別式大于等于0得到方程x²+2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根的充要條件為a≥b，用列舉法求出a從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)的所有基本事件個(gè)數(shù)，查出滿足a≥b的事件數(shù)，然后直接利用古典概型概率計(jì)算公式求解；
（2）由題意求出點(diǎn)（a，b）所構(gòu)成的矩形面積，再由線性規(guī)劃知識(shí)求出滿足a≥b的區(qū)域面積，由測(cè)度比是面積比求概率．

解答 解：設(shè)事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根”．
當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根的充要條件為a≥b．
（1）基本事件共12個(gè)：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．
事件A中包含9個(gè)基本事件．
事件A發(fā)生的概率為P（A）=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$；
（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
如圖，
∴所求的概率P=$\frac{3×2-\frac{1}{2}×{2}^{2}}{3×2}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了幾何概型的概率，是中檔題．