Question

12．設一元二次方程mx²+（2m-1）x+（m+1）=0的兩根為tanα，tanβ，求tan（α+β）的取值范圍．

Answer 1

分析 利用韋達定理，有tanα+tanβ=-$\frac{2m-1}{m}$，tanαtanβ=$\frac{m+1}{m}$，根據兩角和的正切公式，將tan（α+β） 展開，最后化成關于m的函數，求出范圍，注意一元二次方程根存在的條件是△≥0．

解答 解：由題意，可得：$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=（2m-1）^{2}-4m（m+1）≥0}\end{array}\right.$
解得：m≤$\frac{1}{8}$，
由韋達定理有tanα+tanβ=-$\frac{2m-1}{m}$，tanαtanβ=$\frac{m+1}{m}$
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2m-1，
又m≤$\frac{1}{8}$，m≠0，
∴求得tan（α+β）的取值范圍是（-∞，-1）∪（-1，-$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查一元二次方程根存在的條件，兩角和的正切公式的應用，函數思想及函數值域求解，考查了轉化思想，屬于中檔題．