Question

15．已知△ABC的三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圓H．
（1）求圓H的方程；
（2）若直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程．
（3）對于線段BH上的任意一旦P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可求出圓H的方程；
（2）根據(jù)直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，設(shè)出直線方程，利用勾股定理，即可求直線l的方程；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)，可得M的坐標(biāo)，代入圓的方程，可得以（3，2）為圓心，r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，由此求得⊙C的半徑r的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，A（-1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分線是x=0，
∵BC：y=x-1，BC中點是（2，1），
∴BC的垂直平分線是y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，得到圓心是（0，3），∴r=$\sqrt{10}$，
∴圓H的方程是x²+（y-3）²=10；
（2）∵弦長為2，∴圓心到l的距離d=3．
設(shè)l：y=k（x-3）+2，則d=$\frac{|-3-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，∴k=$\frac{4}{3}$，∴l(xiāng)的方程y=$\frac{4}{3}$x-2；
當(dāng)直線的斜率不存在時，x=3，也滿足題意．
綜上，直線l的方程是x=3或y=$\frac{4}{3}$x-2；
（3）直線BH的方程為3x+y-3=0，設(shè)P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因為點M是點P，N的中點，所以M（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
又M，N都在半徑為r的圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（\frac{m+x}{2}-3）^{2}+（\frac{n+y}{2}-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（x+m-6）^{2}+（y+n-4）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$，
因為該關(guān)于x，y的方程組有解，
即以（3，2）為圓心，r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，
所以（2r-r）²≤（3-6+m）²+（2-4+n）²≤（r+2r）²，
又3m+n-3=0，
所以r²≤10m²-12m+10≤9r²對任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域為[$\frac{32}{5}$，10]，
又線段BH與圓C無公共點，所以（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²對任意m∈[0，1]成立，即r²＜$\frac{32}{5}$．
故圓C的半徑r的取值范圍為[$\frac{\sqrt{10}}{3}$，$\frac{4\sqrt{10}}{5}$）．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．