Question

8．設(shè)函數(shù)y=x³+x²+x+1在點(diǎn)M（1，4）處的切線為l，雙曲線$\frac{x^2}{8}$-$\frac{y^2}{2}$=1的兩條漸近線與l圍成的封閉圖形的區(qū)域?yàn)镻（包括邊界），點(diǎn)A為區(qū)域P內(nèi)的任一點(diǎn)，已知B（4，5），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{23}{12}$
• B． 3
• C． 2
• D． $\frac{26}{11}$

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程和雙曲線的漸近線，作出對(duì)應(yīng)的封閉區(qū)域，利用向量數(shù)量積的定義求出向量數(shù)量積的表達(dá)式，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2x+1，
則函數(shù)在點(diǎn)M（1，4）處的切線向量為k=f′（1）=3+2+1=6，
則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-4=6（x-1），即y=6x-2，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，
則對(duì)應(yīng)的封閉區(qū)域?yàn)椋?br />設(shè)A（x，y），則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4x+5y，
設(shè)z=4x+5y，得y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$，
平移直線y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$，由圖象可知當(dāng)直線y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$，
經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=6x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{11}}\\{y=\frac{2}{11}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{4}{11}$，$\frac{2}{11}$），
此時(shí)z=4x+5y=4×$\frac{4}{11}$+5×$\frac{2}{11}$=$\frac{26}{11}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，雙曲線的性質(zhì)以及向量數(shù)量積的公式，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．