Question

10．給出下列三個命題：
①若回歸直線的斜率估計值是1.23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程是$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08；
②若偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]時，f（x）=x，則方程f（x）=log₃|x|有3個根；
③函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點；
④已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，且f（x₁）=f（x₂）=0，則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e．
正確命題的序號是①③④（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 ①利用回歸直線方程的定義和性質(zhì)進行求解．
②根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷，
③利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題進行判斷，
④根據(jù)基本不等式的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明x₁•x₂＞e²即可證明$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e成立．

解答 解：①若回歸直線的斜率估計值是1.23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程是y-5=1.23（x-4），即$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08；故①正確，
②若偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]時，f（x）=x，
作出函數(shù)f（x）和g（x）=log₃|x|的圖象，
∵f（3）=f（1）=1，g（3）=1，
∴方程f（x）=log₃|x|有4個根；故②錯誤，

③函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1=0得（$\frac{3}{2}$）^x=sinx+1，
作出兩個函數(shù)y=（$\frac{3}{2}$）^x和y=sinx+1在（0，+∞）內(nèi)的圖象，由圖象知兩個函數(shù)只有一個交點，
即函數(shù)f（x）有且只有一個零點；故③正確，

④設(shè)x₁＞x₂＞0，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
則當$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞e，即x₁•x₂＞e²時，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞e成立，
下證明，x₁•x₂＞e²成立
設(shè)x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁•x₂＞e²等價于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2，
?$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$?ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，則t＞1，
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
設(shè)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），
∴g′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）是遞增，
∴g（t）＞g（1）=0即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞e成立，故④正確，
故答案為：①③④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度極大，考查學(xué)生的運算和轉(zhuǎn)化能力．