Question

19．已知函數f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+x²-x（其中e=2.71828…）．
（1）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數g（x）=ln[f（x）-x²+x]-b的兩個零點為x₁，x₂，證明：g′（x₁）+g′（x₂）＞g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出g（x）的解析式，求出導數，由零點的定義，運用換元法和構造函數法，結合分析法證明，以及函數的單調性，即可得到證明．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+x²-x的導數為f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$+2x-1，
f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=1，切點為（1，$\frac{1}{e}$），
可得f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-$\frac{1}{e}$=x-1，
即為y=x-1+$\frac{1}{e}$；
（2）證明：由題意知函數g（x）=lnx-x-b，所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
因為x₁，x₂是函數g（x）的兩個零點，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+b=ln{x}_{1}}\\{{x}_{2}+b=ln{x}_{2}}\end{array}\right.$，相減得x₂-x₁=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t＞1，則x₂=tx₁，即tx₁-x₁=lnt，則x₁=$\frac{lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{tlnt}{t-1}$，
要證g′（x₁）+g′（x₂）＞g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），即證$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$+1，
即證$\frac{t-1}{lnt}$+$\frac{t-1}{tlnt}$＞$\frac{2（t-1）}{（1+t）lnt}$+1，
即證t-$\frac{1}{t}$-$\frac{2（t-1）}{t+1}$-lnt＞0，
令φ（t）=t-$\frac{1}{t}$-$\frac{2（t-1）}{t+1}$-lnt，φ′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（1+t）^{2}}$=$\frac{{t}^{4}+{t}^{3}-4{t}^{2}+t+1}{{t}^{2}（t+1）^{2}}$，
令m（t）=t⁴+t³-4t²+t+1，m′（t）=4t³+3t²-8t+1，令h（t）=4t³+3t²-8t+1，
h′（t）=12t²+6t-8＞0恒成立，
m′（t）在（1，+∞）遞增，可得m′（t）＞m′（1）=0，
m（t）在（1，+∞）遞增，m（t）＞m（1）=0，
即φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）遞增，
φ（t）＞φ（1）=0，
即原不等式成立．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用分析法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．