Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足4S_n=a_n²+2a_n．
（1）求a₁的值；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：

4

a1a2

+

4

a2a3

+…+

4

anan+1

＜2，n∈N^*．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1求得a₁的值；
（2）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（3）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{

4

anan+1

}的前n項(xiàng)和后證得答案．

解答： （1）解：在4S_n=a_n²+2a_n中取n=1得：
4a1=a12+2a1，解得a₁=0（舍）或a₁=2；
（2）解：由4S_n=a_n²+2a_n，得4Sn-1=an-12+2an-1，
兩式作差得：4an=an2-an-12+2an-2an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
則數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（3）證明：∵

4

anan+1

=

4

2n•2(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴

4

a1a2

+

4

a2a3

+…+

4

anan+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．