Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=5+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）．設(shè)曲線C與直線l相交于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為一條邊作曲線C的內(nèi)接矩形，則該矩形的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，可得圓心C（2，0），半徑r=2．設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=5+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t可得x-

3

y-5=0．求出圓心C到直線l的距離d

3

2

，可得弦長(zhǎng)|PQ|=2

r2-d2

．即可得出以PQ為一條邊作曲線C的內(nèi)接矩形，則該矩形的面積S=2d•|PQ|．

解答： 解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，
∴直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，配方為（x-2）²+y²=4，可得圓心C（2，0），半徑r=2．
設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=5+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t可得x-

3

y-5=0．
∴圓心C到直線l的距離d=

|2-5|

2

=

3

2

，
∴弦長(zhǎng)|PQ|=2

r2-d2

=

7

．
∴以PQ為一條邊作曲線C的內(nèi)接矩形，則該矩形的面積S=2d•|PQ|=3

7

．
故答案為：3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、內(nèi)接矩形面積計(jì)算問(wèn)題，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．