Question

已知（x²-

1

5 x3

）⁵的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T，f（x）是以T為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  4

  ]
• B、[0，

  1

  4

  ]
• C、（0，

  1

  5

  ]
• D、[0，

  1

  5

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：先寫出其通項(xiàng)T_r+1=

C

r 5

（x²）^5-r（5-

1

2

x-3）^r=5-

r

2

C

r 5

x^10-5r，從而求出函數(shù)的周期；再由函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）與r（x）=kx+2k有四個(gè)交點(diǎn)，從而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（x²-

1

5 x3

）⁵的通項(xiàng)T_r+1=

C

r 5

（x²）^5-r（5-

1

2

x-3）^r=5-

r

2

C

r 5

x^10-5r；
令10-5r=0得，r=2；
則常數(shù)項(xiàng)為

C

2 5

×

1

5

=2，
f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，
因?yàn)閰^(qū)間[-1，3]是兩個(gè)周期，
所以在區(qū)間[-1，3]內(nèi)函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k有4個(gè)零點(diǎn)，
可轉(zhuǎn)化為f（x）與r（x）=kx+2k有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k=0時(shí)，兩函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)r（x）的圖象恒過點(diǎn)（-2，0），
則若使兩函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
必有0＜r（3）≤1；
解得，0＜k≤

1

5

；
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．