Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PDE⊥平面PEC．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，則由中位線定理可知四邊形AEFG是平行四邊形，于是EF∥AG，從而得出EF∥平面PAD；
（2）由PD⊥平面ABCD得出PD⊥CE，由勾股定理的逆定理得出CE⊥DE，于是CE⊥平面PDE，故而平面PDE⊥平面PEC．

解答 證明：（1）取PD的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G．
∵F，G分別是PC，PD的中點(diǎn)，
∴GF∥DC，GF=$\frac{1}{2}$DC，
又E是AB的中點(diǎn)，
∴AE∥DC，且AE=$\frac{1}{2}$DC，
∴GF∥AE，且GF=AE，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，故EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）∵PD⊥底面ABCD，EC?底面ABCD，
∴CE⊥PD．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=2AD，
∴DE=$\sqrt{2}$AD，CE=$\sqrt{2}$AD，CD=2AD，
∴DE²+CE²=CD²，即CE⊥DE，
又PD?平面PDE，DE?平面PDE，PD∩DE=D，
∴CE⊥平面PDE．
∵CE?平面PEC，
∴平面PDE⊥平面PEC．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．