Question

15．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，0＜m＜4，且a+b=2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$（$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$），先根據(jù)基本不等式求出$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{4}{m（4-m）}$的最小值，再代入去求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（a+b）的最小值，問題得以解決．

解答 解：∵$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$（$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$）
∵0＜m＜4，
∴m（4-m）≤（$\frac{m+4-m}{2}$）²=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立，
∴$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{m+4-m}{m（4-m）}$=$\frac{4}{m（4-m）}$≥$\frac{4}{4}$=1，
∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）=$\frac{9}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$時取等號，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$的最小值為$\frac{9}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活構(gòu)造基本不等式，并注意不等號成立的條件，屬于中檔題．