Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*）
（1）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設c_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•$\frac{2{a}_{n+1}}{3n+2}$（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立；
（3）設d_n=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，數(shù)列{d_n}的前n項和為T_n，求證：$\frac{2}{5}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*），n=1時，a₁=2a₁-6+4，解得a₁=2．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，可得b_n-b_n-1=$\frac{3}{2}$．再利用等差數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）可得：a_n=（3n-1）×2^n-1．c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ×2ⁿ⁺¹．對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立，代入化為：（-1）^n-1λ＜2^n-1，
對n分類討論即可得出．
（3）d_n=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{（3n-1）•{2}^{n-1}•（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$，利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調性即可證明．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*），∴n=1時，a₁=2a₁-6+4，解得a₁=2．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3•2ⁿ+4-$（2{a}_{n-1}-3×{2}^{n-1}+4）$，化為：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，可得b_n-b_n-1=$\frac{3}{2}$．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為$\frac{3}{2}$，首項為1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1），化為：a_n=（3n-1）×2^n-1．
c_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•$\frac{2{a}_{n+1}}{3n+2}$=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•$\frac{2×（3n+2）×{2}^{n}}{3n+2}$=4ⁿ+（-1）^n-1λ×2ⁿ⁺¹．
對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立，∴4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ×2ⁿ⁺²＞4ⁿ+（-1）^n-1λ×2ⁿ⁺¹，化為：（-1）^n-1λ＜2^n-1，
n=2k-1（k∈N^*）時，化為：λ＜2^2k-2，∴λ＜1．
n=2k（k∈N^*）時，化為：λ＞-2^2k-1，∴λ＞-2．
綜上可得：-2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，∴λ=-1．
∴λ=-1時，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．
（3）證明：d_n=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{（3n-1）•{2}^{n-1}•（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{d_n}的前n項和為T_n=d₁+d₂+…+d_n=$（\frac{1}{2×1}-\frac{1}{5×2}）$+$（\frac{1}{5×2}-\frac{1}{8×{2}^{2}}）$+…+（$\frac{1}{（3n-1）•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$，T₁=$\frac{8}{2×5×2}$=$\frac{2}{5}$．

∴$\frac{2}{5}$=${T}_{1}≤{T}_{n}＜\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、遞推關系、數(shù)列的單調性、不等式的性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．