17．設(shè)點(diǎn)P是圓x2+y2=4上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0），若點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MD}$，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

分析 設(shè)出M、P的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MD}$，把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，然后代入已知圓的方程求得點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：如圖，設(shè)M（x，y），P（x0，y0），又D（8，0），
由$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MD}$，得（x-x0，y-y0）=（16-2x，-2y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{0}=16-2x}\\{y-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3x-16}\\{{y}_{0}=3y}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，即（3x-16）2+（3y）2=4，
∴$（x-\frac{16}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$．
故點(diǎn)M的軌跡方程為$（x-\frac{16}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，訓(xùn)練了利用代入法求曲線的方程，是中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．如圖所示的幾何體是由以正△ABC為底面的直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線OA∥平面DEF；
（Ⅱ）求直線FC與平面DEF所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．雙“十一”結(jié)束之后，某網(wǎng)站針對(duì)購(gòu)物情況進(jìn)行了調(diào)查，參與調(diào)查的人主要集中在[20，50]歲之間，若規(guī)定：購(gòu)物600（含600元）以下者，稱為“理智購(gòu)物”，購(gòu)物超過(guò)600元者被網(wǎng)友形象的稱為“剁手黨”，得到如下統(tǒng)計(jì)表：
分組編號(hào)年齡分組球迷所占比例
1[20，25）10000.5
2[25，30）18000.6
3[30，35）12000.5
4[35，40）a0.4
5[40，45）3000.2
6[45，50]2000.1
若參與調(diào)查的“理智購(gòu)物”總?cè)藬?shù)為7720人．
（1）求a的值；
（2）從年齡在[20，35）的“剁手黨”中按照年齡區(qū)間分層抽樣的方法抽取20人；
①?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好屬于同一年齡區(qū)間的概率；
②從這20人中隨機(jī)抽取2人，用ζ表示年齡在[20，25）之間的人數(shù)，求ξ的分布列及期望值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．已知x≥y＞0．
（1）若xy=1，|x-1|+|y-1|≥1，求x的取值范圍．
（2）若x+y=1，證明：（$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）•（$\frac{1}{{y}^{2}}$-1）≥9．

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12．設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2+abc=4，證明：a+b+c≤3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線x=2的距離之比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+m（m≠0）與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于C，D兩點(diǎn)（且C，D在A，B之間或同時(shí)在A，B之外）．問(wèn)：是否存在定值k，對(duì)于滿足條件的任意實(shí)數(shù)m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx滿足：①f（2）=0，②關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，3]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

6．設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{1}{a_n}$）．
（1）試求a1、a2、a3；
（2）猜想通項(xiàng)an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

7．二面角α-l-β的大小為$\frac{π}{4}$，直線AB?α，若AB與l所成的角為$\frac{π}{4}$，則AB與β所成角的正弦值=$\frac{1}{2}$．

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