Question

6．設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）．
（1）試求a₁、a₂、a₃；
（2）猜想通項(xiàng)a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$），代入n=1，2，3計(jì)算，可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即成立，利用遞推式，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得a₁=1 
當(dāng)n=2時(shí)，a₂+a₁=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
解得a₂=$\sqrt{2}-1$，
同理求得a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
（2）猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（n∈N⁺）
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，已證．
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{ak}$），
即a_k+1-$\frac{1}{ak+1}$=-（a_k+$\frac{1}{ak}$）=-（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）=-2$\sqrt{k}$．
∴a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$．
由①②可知，對(duì)n∈N^*，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，屬于中檔題．