Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線x=2的距離之比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+m（m≠0）與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于C，D兩點(diǎn)（且C，D在A，B之間或同時(shí)在A，B之外）．問(wèn)：是否存在定值k，對(duì)于滿足條件的任意實(shí)數(shù)m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，兩邊平方整理即可得到所求軌跡E的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理，求得C，D的坐標(biāo)，由△OAC的面積與△OBD的面積相等?|AC|=|BD|恒成立?線段AB的中點(diǎn)和線段CD中點(diǎn)重合．運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得k的值，即可判斷存在．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由題意可得$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
兩邊平方可得x²+y²-2x+1=$\frac{1}{2}$（x²-4x+4），
即有$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
可得軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（2k²-m²+1），
由△＞0，可得m²＜1+2k²（*），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
由題意可設(shè)C（-$\frac{m}{k}$，0），D（0，m），
△OAC的面積與△OBD的面積相等?|AC|=|BD|恒成立
?線段AB的中點(diǎn)和線段CD中點(diǎn)重合．
即有-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{m}{k}$，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即存在定值k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，對(duì)于滿足條件的m≠0，且|m|＜$\sqrt{2}$
的任意實(shí)數(shù)m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，考查存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．