Question

8．已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的定義域?yàn)镽；命題q：當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{a}$恒成立，如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的a的范圍，通過討論p，q的真假，求出a的范圍即可．

解答 解：由a＞0，命題p：函數(shù)y=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的定義域?yàn)镽，
可知，△=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$＜0，解得a＞2．
因此，命題p為真時(shí)，a＞2．
對(duì)于命題q：當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{a}$恒成立，
即函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)的最小值y_min＞$\frac{1}{a}$，
∵y_min=2，∴$\frac{1}{a}$＜2．又a＞0，∴a＞$\frac{1}{2}$．
因此，命題q為真時(shí)，a＞$\frac{1}{2}$．
∵命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
∴命題p與q中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題．
當(dāng)p真q假時(shí)，可得a∈∅；
當(dāng)p假q真時(shí)，可得$\frac{1}{2}$＜a≤2．
綜上所述，a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查對(duì)數(shù)函數(shù)以及函數(shù)最值問題，是一道中檔題．