Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x（2+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＞0，則-x＜0，由已知表達(dá)式可求得f（-x），由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）與f（-x）的關(guān)系，從而可求出f（x）；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，得出函數(shù)f（x）的圖象，從而寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x（2+x），
∴f（-x）=-x（2-x）．
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（2-x）．
故函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（2+x），x≤0\\ x（2-x），x＞0\end{array}\right.$．
（2）

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解及奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的圖象與單調(diào)性，屬中檔題．