Question

1．已知AB是圓O的直徑，AB=1，延長AB到C，使得BC=1，CD是圓O的切線，D是切點，則CD等于$\sqrt{2}$，△ABD的面積等于$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 直接利用已知結合切割弦定理求得CD；求解直角三角形求得sin∠DOB，然后代入三角形面積公式求得△ABD的面積．

解答 解：如圖，∵AB=1，BC=1，
∴AC=2，
由切割弦定理可得：CD²=BC•AC=1×2=2，
∴$CD=\sqrt{2}$．
連接OD，則OD⊥CD，
在Rt△ODC中，由CD=$\sqrt{2}$，OC=$\frac{3}{2}$，得sin∠DOC=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}OB•OD•sin∠DOB+\frac{1}{2}OA•OD•sin∠DOA$
=$2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案為：$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，訓練了切割弦定理的應用，考查了利用正弦定理求三角形的面積，是中檔題．