Question

14．已知數(shù)列{3^a_n}是首項為1公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列{$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}$}的前n項和S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{3^a_n}是首項為1公比為3的等比數(shù)列，可得${3}^{{a}_{n}}$=3^n-1，a_n=n-1．于是$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：數(shù)列{3^a_n}是首項為1公比為3的等比數(shù)列，∴${3}^{{a}_{n}}$=1×3^n-1，即${3}^{{a}_{n}}$=3^n-1，可得a_n=n-1．
$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴前n項和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$

點評 本題考查了指數(shù)運算性質(zhì)、數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．