Question

某廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為6萬元，但生產(chǎn)一百臺需要另增加0.5萬元．市場對此產(chǎn)品的年需求量為7百臺（年產(chǎn)量可以多于年需求量），銷售的收入函數(shù)為R（x）=7x-

x2

2

（0≤x≤7）（單位：萬元），其中x是產(chǎn)品年生產(chǎn)量（單位：百臺），且x∈N．
（Ⅰ）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（Ⅱ）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R（x）與其成本C（x）之差，由題意，當(dāng)x≤7時，產(chǎn)品能夠全部售出，當(dāng)x＞7時，只能銷售700臺，由此能把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)0≤x≤7時，y=-

x2

2

+6.5x-6，當(dāng)x=6.5（百臺）時，y_max=15.125（萬元）；當(dāng)x＞7（百臺）時，y＜18.5-0.5×7=14（萬元）．由此能求出年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大．

解答： 解：（Ⅰ）利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R（x）與其成本C（x）之差，
由題意，當(dāng)x≤7時，產(chǎn)品能夠全部售出，當(dāng)x＞7時，只能銷售700臺，所以
y=

7x- x2 2 -(6+0.5x)，0≤x≤7 7×7- 1 2 ×72-(6+0.5x)，x＞7

，
整理，得y=

- x2 2 +6.5x-6，0≤x≤7 18.5-0.5x，x＞7

；
（Ⅱ）當(dāng)0≤x≤7時，y=-

x2

2

+6.5x-6，
當(dāng)x=6.5（百臺）時，y_max=15.125（萬元）；
當(dāng)x＞7（百臺）時，y＜18.5-0.5×7=14（萬元）．
綜上所述，當(dāng)生產(chǎn)6.5百臺時，工廠所得利潤最大．

點評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯．解題時要認(rèn)真審題，注意二次函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．