Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求證：對任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角C-BE-A的大小為120°，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質,向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）以D為原點，DA，DC，DS為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能證明AC⊥BE恒成立．
（II）求出平面ABE的一個法向量和平面BCE的一個法向量，利用向量法能求出λ=1．

解答： （I）證明：以D為原點，DA，DC，DS為x，y，z軸，
如圖建立空間直角坐標系D-xyz，
則A（a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），

AC

=(-a，a，0)， 

BE

=(-a，-a，λa)，…（3分）
∴

AC

•

BE

=0對任意λ∈（0，1]都成立，
即AC⊥BE恒成立．…（5分）
（II）解：設平面ABE的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
∵

AB

=(0，a，0)， 

AE

=(-a，0，λa)，
∴

n1 • AB =0 n1 • AE =0

⇒

y1=0  -ax1+λaz1=0

⇒

y1=0  x1-λz1=0

，
取z₁=1，則x₁=λ，

n1

=(x1，y1，z1)=(λ，0，1)．…（7分）
設平面BCE的一個法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
∵n=3n+1，∴n=

n

2

，
取z₂=1，則y₂=λ，

n2

=(x2，y2，z2)，…（9分）
∵二面角C-AE-D的大小為120°，
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

1+λ2

=

1

2

， λ∈(0， 1]⇒λ=1，
∴λ=1為所求．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查使得二面角為120°的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．