Question

8．已知圓O：x²+y²=9，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為直徑的圓內(nèi)切于圓O，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)AP的中點(diǎn)為M，切點(diǎn)為N，連OM，MN，通過|OM|+|MN|=|ON|=3，推出|OM|+|MN|=3．說明點(diǎn)P的軌跡是以A′，A為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓．然后求解動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)AP的中點(diǎn)為M，切點(diǎn)為N，連OM，MN，則|OM|+|MN|=|ON|=3，
取A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連A′P，
故|A′P|+|AP|=2（|OM|+|MN|）=6．
所以點(diǎn)P的軌跡是以A′，A為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓．
其中，a=3，c=2，b=$\sqrt{5}$，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，判斷軌跡的橢圓簡(jiǎn)化解題的過程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．