Question

【題目】已知圓經過點、，并且直線： 平分圓.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若過點，且斜率為的直線與圓有兩個不同的交點.

（ⅰ）求實數的取值范圍；

（ⅱ）若，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）確定圓需要三個條件，求圓方程可用待定系數法或直接法，此處是充分運用平幾知識，求出圓心和半徑，直接寫方程；（Ⅱ）直線與圓的關系既可用幾何法，也可運用代數法，這里兩種方法都用了，感受一下，何時用何法的內在規(guī)律，韋達定理一定要和判別式結合使用，否則易犯錯.

試題解析：（Ⅰ）線段的中點， ，故線段的中垂線方程為，即.

因為圓經過兩點，故圓心在線段的中垂線上.

又因為直線： 平分圓，所以直線經過圓心.

由解得，即圓心的坐標為，而圓的半徑，所以圓的方程為： 5分

（Ⅱ）直線的方程為.

圓心到直線的距離，

（ⅰ）由題意得，兩邊平方整理得：

解之得8分

（ⅱ）將直線的方程與圓的方程組成方程組得： 消去，整理得

10分

設，則由根與系數的關系可得：

，

而

所以

12分

故有，解得.經檢驗知，此時有，所以14分