Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若，且函數(shù)的圖象是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知的圖象直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程是，解方程可得，.

（2）由題意得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)討論可得在上單調(diào)遞增， 所以，即.

（3）利用必要條件探路，可知若，在上總有零點(diǎn)的必要條件是，即， 然后證明當(dāng)時(shí)，在上總有零點(diǎn)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（1）由知，的圖象直線過(guò)點(diǎn)，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由得切線方程是，

此直線過(guò)點(diǎn)，故，解得，

所以.

（2）由題意得恒成立，

令，則，再令，則，

故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

從而在上有最小值，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即.

（3）若，在上單調(diào)遞增，

故在上總有零點(diǎn)的必要條件是，即，

以下證明當(dāng)時(shí)，在上總有零點(diǎn).

①若，

由于，，且在上連續(xù)，

故在上必有零點(diǎn)；

②若，，

由（2）知在上恒成立，

取，則 ，

由于，，且在上連續(xù)，

故在上必有零點(diǎn)，

綜上得：實(shí)數(shù)的取值范圍是.