Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^2x-alnx．
（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，$f（x）≥2a+aln\frac{2}{a}$．

Answer 1

分析 （I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），對(duì)a分類討論即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可設(shè)導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上的唯一零點(diǎn)為x₀，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值最值即可證明．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=e^2x-alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2e^2x-$\frac{a}{x}$．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）沒有零點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，∵y=e^2x為單調(diào)遞增，y=-$\frac{a}{x}$單調(diào)遞增，
∴f′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又f′（a）＞0，
假設(shè)存在b滿足0＜b＜$\frac{a}{4}$時(shí)，且b＜$\frac{1}{4}$，f′（b）＜0，
故當(dāng)a＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）存在唯一的零點(diǎn)，
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，可設(shè)導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上的唯一零點(diǎn)為x₀，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=x₀時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（x₀），
由于2e${\;}^{2{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，
∴f（x₀）=$\frac{a}{2{x}_{0}}$+2ax₀+aln$\frac{2}{a}$≥2a+aln$\frac{2}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．