20.已知向量$\overrightarrow{a}$=(1,-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$),$\overrightarrow$=(sinx,2sin$\frac{x}{2}$).函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\sqrt{3}$,
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,$\frac{2π}{3}$]的最小值.

分析 (1)利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及三角函數(shù)中的恒等變換可得f(x)=2sin(x+$\frac{π}{3}$),再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$(k∈Z)即可求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)x∈[0,$\frac{2π}{3}$]⇒$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤π,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得(x)在區(qū)間[0,$\frac{2π}{3}$]的最小值.

解答 解:(1)f(x)=sinx-2$\sqrt{3}$sin2$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$
=sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2sin(x+$\frac{π}{3}$),
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$(k∈Z)得:
f(x) 的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-$\frac{5π}{6}$,2kπ+$\frac{π}{6}$](k∈Z)  …(6分)
(2)∵x∈[0,$\frac{2π}{3}$],∵$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤π,
∴0≤sin(x+$\frac{π}{3}$)≤1,∴f(x)在[0,$\frac{2π}{3}$]上的最小值為0…(12分)

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于中檔題.

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