2.設等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,已知a2=5,S10=120.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證${T_n}<\frac{1}{6}$.

分析 (Ⅰ)利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(Ⅱ)求出$_{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$,利用裂項求和法能證明${T_n}<\frac{1}{6}$.

解答 解:(Ⅰ)由$\left\{\begin{array}{l}{a_2}={a_1}+d=5\\{S_{10}}=10{a_1}+\frac{10×(10-1)}{2}d=120\end{array}\right.$,…2
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.$…4
所以an=3+(n-1)×2=2n+1.…6
證明:(Ⅱ)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$…8
Tn=b1+b2+b3+…+bn
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+$…$+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$…10
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})=\frac{1}{6}-\frac{1}{2(2n+3)}$…12
$<\frac{1}{6}$.…13

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.

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