Question

1．某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：
（1）寫出該城市人口總數y（萬人）與年數x（年）的函數關系式；
（2）計算10年以后該城市人口總數（精確到0.1萬人）；
（3）計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人（精確到1年）．（1.01210=1，.127，1.01215=1.196，1.01216=1.210）
2009年12月20日是世界人口日：
（1）世界人口在過去40年內翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？
（2）我國人口在2009年底達到12.48億，若將人口平均增長率控制在1%以內，則我國人口在2019年底至多有多少億？
以下數據供計算時使用：

數N	1.010	1.015	1.017	1.310	2.000
對數lgN	0.004 3	0.006 5	0.007 3	0.117 3	0.301 0
數N	3.000	5.000	12.48	13.11	13.78
對數lgN	0.477 1	0.699 0	1.096 2	1.117 6	1.139 2

Answer 1

分析 （1）選擇指數函數模型即可求得城市人口總數y（萬人）與年份x（年）的函數關系式；
（2）對于（1）中求得的函數式，當x=10時，即可計算10年后該城市的人口總數；
（3）在（1）求得的解析式中，當y=120時，求得的x的值即為大約多少年后該城市將達到120萬人．
（1）假設每年人口平均增長率是x%，根據世界人口在過去40年內翻了一番，然后取對數求出所求即可；
（2）根據題意可知是等比數列模型，則我國人口在2019年底至多有12.48（1+1%）¹⁰；

解答 解：（1）1年后該城市人口總數為y=100+100×1.2%=100×（1+1.2%），
2年后該城市人口總數為y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%=100×（1+1.2%）2，
3年后該城市人口總數為y=100×（1+1.2%）2+100×（1+1.2%）2×1.2%
=100×（1+1.2%）2×（1+1.2%）
=100×（1+1.2%）3．…
x年后該城市人口總數為y=100×（1+1.2%）x（x∈N*）．
（2）10年后人口總數為100×（1+1.2%）10≈112.7（萬人）．
（3）設x年后該城市人口將達到120萬人，
即100×（1+1.2%）x=120，x=log1.0121.20≈16（年）．
因此，大約16年以后該城市人口將達到120萬人．
（1）假設每年人口平均增長率是x%
∵世界人口在過去40年內翻了一番
∴（1+x%）⁴⁰=2
則40lg（1+x%）=lg2，∴每年人口平均增長率為1.7%；
（2）依題意，y≤12.48（1+1%）¹⁰，得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2．
∴y≤13.78，故人口至多有13.78億．

點評 本小題主要考查函數模型的選擇與應用、指數方程等，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．