Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．若在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“g（x）≥$\sqrt{3}$”發(fā)生的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由兩角和的正弦把三角函數(shù)化簡，結合已知求出周期，進一步得到ω，則三角函數(shù)的解析式可求，再由圖象平移得到g（x）的解析式，確定滿足g（x）≥1的范圍，根據(jù)幾何概型利用長度之比可得結論

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
由題意知$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，則T=π，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∵2cos2x≥$\sqrt{3}$，x∈[0，π]，可得：cos2x$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：2x∈[0，$\frac{π}{6}$]$∪[\frac{11π}{6}，2π]$，所以x∈[0，$\frac{π}{12}$]$∪[\frac{11π}{12}，π]$，
∴事件“g（x）≥$\sqrt{3}$”發(fā)生的概率為$\frac{\frac{π}{12}+\frac{π}{12}}{π}$=$\frac{\frac{π}{6}}{π}=\frac{1}{6}$；
故選：C．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質，本題考查幾何概型，三角函數(shù)的化簡，學生的計算能力，屬于中檔題