Question

3．設(shè)命題p：?x₀∈（0，+∞），3^x₀+x₀=$\frac{1}{2016}$；命題q：?a，b∈（0，+∞），a+$\frac{1}，b+\frac{1}{a}$中至少有一個不小于2，則下列命題為真命題的是（　�。�

• A． p∧q
• B． （?p）∧q
• C． p∧（?q）
• D． （?p）∧（?q）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷命題p為假命題，利用反證法判斷命題q是真命題，根據(jù)復(fù)合命題真假關(guān)系進行判斷即可，

解答 解：設(shè)f（x）=3^x+x-$\frac{1}{2016}$；
則f（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，
∵f（0）=3⁰-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$＞0，
∴當(dāng)x＞0時f（x）＞f（0）＞0；
即?x₀∈（0，+∞），3^x₀+x₀=$\frac{1}{2016}$為假命題；
假設(shè)a+$\frac{1}$，b+$\frac{1}{a}$都小于2，
即a+$\frac{1}$＜2，b+$\frac{1}{a}$＜2，
將兩式相加，得a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{a}$＜4，
又因為a+$\frac{1}{a}$≥2，b+$\frac{1}$≥2，
兩式相加，得a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{a}$≥4，與a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{a}$＜4，矛盾．
所以a+$\frac{1}$，b+$\frac{1}{a}$至少有一個不小于2．故命題q是真命題，
則（?p）∧q為真命題，其余為假命題，
故選：B

點評 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及利用反證法判斷命題p，q的真假是解決本題的關(guān)鍵．