Question

重慶Z中學(xué)為籌備參加“漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽”，對(duì)初二年級(jí)的400名同學(xué)進(jìn)行了一次摸底聽(tīng)寫(xiě)比賽，每位同學(xué)聽(tīng)寫(xiě)150個(gè)字，聽(tīng)寫(xiě)正確130個(gè)字以上（含130個(gè)）的同學(xué)才可以參加市級(jí)決賽．
（Ⅰ）根據(jù)頻率頒布直方圖，該校可以參加市級(jí)決賽的同學(xué)有多少人？假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估算這400名同學(xué)平均聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)；
（Ⅱ）重慶Z中學(xué)在可以參加市級(jí)決賽的同學(xué)中派1人參加市決賽，按決賽規(guī)定：每人最多有5次聽(tīng)寫(xiě)機(jī)會(huì)，累計(jì)聽(tīng)寫(xiě)正確3個(gè)字或聽(tīng)寫(xiě)錯(cuò)誤3個(gè)字即終止，設(shè)參加決賽的這名同學(xué)每個(gè)字聽(tīng)寫(xiě)正確的頻率相同，且相互獨(dú)立，若該同學(xué)連續(xù)兩次聽(tīng)寫(xiě)錯(cuò)誤的概率是

1

9

，求該同學(xué)在決賽中聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布直線(xiàn)圖求出聽(tīng)寫(xiě)正確130個(gè)字以上（含130個(gè)）的同學(xué)的頻率為，由此能求出該�？梢詤⒓邮屑�(jí)決賽的同學(xué)的個(gè)數(shù)．由頻率分布直方圖能求出這400名同學(xué)平均聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)．
（2）由已知得ξ=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得聽(tīng)寫(xiě)正確130個(gè)字以上（含130個(gè)）的同學(xué)的頻率為：
0.00250×20=0.05，
∴該�？梢詤⒓邮屑�(jí)決賽的同學(xué)有0.05×40=2人．
這400名同學(xué)平均聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)：
（0.00125×40+0.00150×60+0.00250×140+0.00925×80+0.011×120+0.245×100）×20=100．
（2）由已知得ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=（

1

3

）³=

1

27

，
P（ξ=1）=3×（

1

3

）³×

2

3

=

2

27

，
P（ξ=2）=6×(

2

3

)2×(

1

3

)3=

8

81

，
P（ξ=3）=（

2

3

）³+3×

1

3

×(

2

3

)3+6×(

1

3

)2×(

2

3

)3=

64

81

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 27	8 81	64 81

∴Eξ=0×

1

27

+1×

2

27

+2×

8

81

+3×

64

81

=

214

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．