Question

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，記實(shí)數(shù)M的最大值是m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解不等式|x-1|+|x-2|≤m．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,絕對(duì)值三角不等式

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得M≤

|a+b|+|a-b|

|a|

，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，再由

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2可得，M≤2，由此可得m的值；
（Ⅱ）由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而數(shù)軸上

1

2

和

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，由此求得|x-1|+|x-2|≤2的解集．

解答： 解：（Ⅰ）不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，
即M≤

|a+b|+|a-b|

|a|

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，
故只要左邊恒小于或等于右邊的最小值．
因?yàn)閨a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，
當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（a+b）≥0時(shí)等號(hào)成立，
即|a|≥|b|時(shí)，

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2成立，
也就是

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值是2，
故M的最大值為2，即 m=2．
（Ⅱ）不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2．
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而數(shù)軸上

1

2

和

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，
故|x-1|+|x-2|≤2的解集為：{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．