Question

11．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，點D在線段AB上，且平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁．
（1）確定點D的位置并證明；
（2）證明：AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

分析 （1）D為AB的中點，可通過CD⊥AB，CD⊥BB₁得出CD⊥平面ABB₁A₁，故而平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）連結BC₁，交B₁C于M，連接MD．則MD為△ABC₁的中位線，故而MD∥AC₁，于是AC₁∥平面B₁CD．

解答 解：（1）D為AB的中點，
證明如下：
∵AC=BC，D是AB的中點，
∴CD⊥AB，
∵BB₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴BB₁⊥CD，又AB?平面ABB₁A₁，BB₁?平面ABB₁A₁，AB∩BB₁=B，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，又CD?平面B₁CD，
∴平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁．
（2）連結BC₁，交B₁C于M，連接MD．
∵四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴M是BC₁的中點，又D是AB的中點，
∴MD∥AC₁，
又MD?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．

點評 本題考查了面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，屬于中檔題．