Question

3．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BC⊥CC₁，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D．
（1）證明：BC⊥平面ACC₁A₁
（2）若二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A₁D⊥平面ABC，進一步得A₁D⊥BC，再由BC⊥CC₁，得BC⊥AA₁，然后利用線面垂直的判定得答案；
（2）利用線面垂直的性質可得BC⊥AC，以C為原點，CA、CB所在直線分別為x、y軸，過C與平面ABC垂直的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz，設A₁D=a，得A，A₁，B，C₁ 的坐標，然后求出平面AA₁B與平面A₁BC的一個法向量，再求出兩個法向量所成角的余弦值，進一步得到二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答 （1）證明：由已知得，A₁D⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A₁D⊥BC，
∵BC⊥CC₁，CC₁∥AA₁，∴BC⊥AA₁，又A₁D∩AA₁=A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：由（1）及AC?平面ACC₁A₁，得BC⊥AC，
以C為原點，CA、CB所在直線分別為x、y軸，過C與平面ABC垂直的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz，
設A₁D=a，則A（2，0，0），A₁（1，0，a），B（0，2，0），C₁（-1，0，a），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}=（-1，2，-a）$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（-3，0，a）$，
又由已知得$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0$，∴3-a²=0，得a=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AB}=（-2，2，0）$，
設平面AA₁B的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，則x=y=3．
∴$\overrightarrow{n}=（3，3，\sqrt{3}）$，
平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{k}=（\sqrt{3}，0，-1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{k}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{k}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{k}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角A-A₁B-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷，考查了利用空間向量求二面角的平面角，考查計算能力，是中檔題．