19.已知函數(shù)f(x)=x+$\frac{1}{x}$.
(I)判斷函數(shù)的奇偶性,并加以證明;
(II)用定義證明f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
(III)函數(shù)f(x)在(-1,0)上的單調(diào)性如何?(直接寫(xiě)出答案,不要求寫(xiě)證明過(guò)程).

分析 (I)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},直接利用奇偶性定義證明即可;
(II)直接利用函數(shù)單調(diào)性定義證明即可;
(III)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(I)(II)可直接得出結(jié)果;

解答 解:(I)由題意知:x≠0;
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0};
又∵$f(-x)=-x-\frac{1}{x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$;
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(II)設(shè)0<x1<x2<1則
$f({x_1})-f({x_2})={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=({x_1}-{x_2})-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=({x_1}-{x_2})(1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}})$;
∵0<x1<x2<1;
∴${x_1}-{x_2}<0,1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}<0$;
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2);
∴函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
(III)函數(shù)f(x)在(-1,0)上是減函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性定義、單調(diào)性定義證明等函數(shù)基本性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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9.如圖,在平行四邊形ABCD中,$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a,\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b,\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$,則$\overrightarrow{BN}$=( 。
A.$\frac{3}{4}\overrightarrow b+\frac{1}{4}\overrightarrow a$B.$\frac{1}{4}\overrightarrow b+\frac{3}{4}\overrightarrow a$C.$\frac{3}{4}\overrightarrow b-\frac{1}{4}\overrightarrow a$D.$\frac{1}{4}\overrightarrow b-\frac{3}{4}\overrightarrow a$

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10.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且a2=2b.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得直線(xiàn)l:x-y+m=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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7.已知p是曲線(xiàn)$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=\sqrt{3}sinβ}\end{array}\right.$上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是該曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),若△F1PF2內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊上的距離為1,則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值為( 。
A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{9}{4}$C.-$\frac{9}{4}$D.0

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14.已知α,β是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且滿(mǎn)足$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=-1,則m的值是( 。
A.3或-1B.3C.1D.-3或1

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4.若數(shù)列{an}滿(mǎn)足關(guān)系:an+1=1+$\frac{1}{a_n}$,a1=1,則a3=( 。
A.$\frac{8}{5}$B.$\frac{3}{2}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{13}{8}$

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11.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿(mǎn)足(a+b)2-c2=4,且C=60°,則△ABC的面積為( 。
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8.若a=30.6,b=log30.2,c=0.63,則a,b,c的大小關(guān)系是(  )
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9.設(shè)集合M={x|x=a},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,則實(shí)數(shù)a的值為( 。
A.1或0B.-1或0C.1或-1D.0或1或-1

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