Question

20．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，△F₁PF₂面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A₁，過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)A₁A，A₁B并延長(zhǎng)分別交直線x=4于P，Q兩點(diǎn)，問$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{Q{F_2}}$是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)c=t，a=2t，即$b=\sqrt{3}t$，其中t＞0，點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)，三角形面積取得最大，求得t=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得AA₁，BA₁的方程，令x=4，可得P，Q的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到定值0．

解答 解：（1）已知橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，
不妨設(shè)c=t，a=2t，即$b=\sqrt{3}t$，其中t＞0，
又△F₁PF₂面積取最大值$\sqrt{3}$時(shí)，
即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)，因此$\frac{1}{2}•2t•\sqrt{3}t=\sqrt{3}$，解得t=1，
則橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$可得（3+4t²）y²+6ty-9=0，
則${y_1}+{y_2}=\frac{-6t}{{3+4{t^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3+4{t^2}}}$，
直線AA₁的方程為$y=\frac{y_1}{{{x_1}-（-2）}}（x-（-2））$，
直線BA₁的方程為$y=\frac{y_2}{{{x_2}-（-2）}}（x-（-2））$，
令x=4，可得$P（4，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$，$Q（4，\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}）$，
則$\overrightarrow{{F_2}P}=（3，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$，$\overrightarrow{{F_2}Q}=（3，\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}）$，
即有$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=9+（\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）（\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}）=\frac{{36{y_1}{y_2}}}{{{t^2}{y_1}{y_2}+3t（{y_1}+{y_2}）+9}}+9=0$，
即$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{Q{F_2}}$為定值0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓方程的求法，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)，以及恒過(guò)定點(diǎn)問題．本題對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求．