Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0時(shí)}\\{|x+\frac{2}{x}|，x≠0時(shí)}\end{array}\right.$，則有關(guān)x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個不等實(shí)根的充分條件是（　　）

• A． b＜-2$\sqrt{2}$且c＞0
• B． b＜-2$\sqrt{2}$且c＜0
• C． b＜-2$\sqrt{2}$且c=0
• D． b≥-2$\sqrt{2}$且c=0

Answer 1

分析 利用基本不等式得出方程f（x）=t的解的情況，從而得出方程t²+bt+c=0的解的范圍，使用根與系數(shù)的關(guān)系得出b，c的范圍．

解答 解：∵|x+$\frac{2}{x}$|=|x|+|$\frac{2}{x}$|≥2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)t$＞2\sqrt{2}$時(shí)，f（x）=t有四個解，
當(dāng)t=2$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）=t有兩個解，
當(dāng)t=0時(shí)，f（x）=0只有一解．
設(shè)f（x）=t，
∵f²（x）+bf（x）+c=0有5個不等實(shí)根，
∴t²+bt+c=0的一個解為0，另一個解在區(qū)間（2$\sqrt{2}$，+∞）上．
∴c=0，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知0-b$＞2\sqrt{2}$，
∴b＜-2$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的值域，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)判斷，屬于中檔題．