Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P（不為橢圓C的左、右頂點(diǎn)），直線l與直線x=2交于點(diǎn)A，直線l與直線x=-2交于點(diǎn)B，請(qǐng)問∠AFB是否為定值？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)證明．

Answer 1

分析 （1）由2a=4，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$即可求得a和b，即可求得橢圓C的方程；
（2）l的斜率為0時(shí)，∠AFB為直角，則∠AFB為定值$\frac{π}{2}$，當(dāng)斜率不為0時(shí)，將切點(diǎn)代入橢圓方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，求得AF和BF的斜率k_AF及k_BF，即可求得k_AF•k_BF=-1，即可求得∠AFB為定值$\frac{π}{2}$．

解答 解：（1）2a=4，即a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）證明：當(dāng)l的斜率為0時(shí)，∠AFB為直角，則∠AFB為定值，為$\frac{π}{2}$，
當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），則l：$\frac{x{x}_{0}}{4}+y{y}_{0}=1$，
∴A（2，$\frac{1-\frac{{x}_{0}}{2}}{{y}_{0}}$），B（-2，$\frac{1+\frac{{x}_{0}}{2}}{{y}_{0}}$），
∴k_AF•k_BF=$\frac{1-\frac{{x}_{0}}{2}}{{（2-\sqrt{3}）y}_{0}}$•$\frac{1+\frac{{x}_{0}}{2}}{（-2-\sqrt{3}）{y}_{0}}$=$\frac{1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}}{-{y}_{0}^{2}}$=-1，
∴∠AFB為定值$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．