Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=2AB，且E為PB的中點，求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性質可得：AC⊥BD，再利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明．
（2）分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角公式即可得出．

解答 （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，
又AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（2）解：分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
不妨設AB=2，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），
$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1，2），
取平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$，
設平面ABE的法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，0，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-AE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關系、線面面面垂直的判定與性質定理、空間角、向量夾角公式、法向量的應用、正方形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．