Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC=AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與線段PB交于點N，確定點N的位置，說明理由；并求AN與平面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理AC²+BC²=AB²證明BC⊥AC，由線面垂直PC⊥平面ABCD證明BC⊥PC，即可證明BC⊥平面PAC；
（2）點N是PB的中點，由線線平行得出M、N、C、D四點共面，點N為過C、D、M三點的平面與線段PB的交點；過點N作NE∥PC交BC于E，則E為BC的中點，連接AE，證明∠NAE為AN與平面ABCD所成的角，即可求AN與平面ABCD所成的角的正切值．

解答 （1）證明：連接AC，在直角梯形ABCD中，
AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{（AB-CD）^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，即BC⊥AC；
∵PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PC；
又AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC；
（2）解：點N是PB的中點，理由如下；
∵點M為PA的中點，點N為PB的中點，
∴MN∥AB，
又∵AB∥DC，∴MN∥CD，
∴M、N、C、D四點共面，
即點N為過C、D、M三點的平面與線段PB的交點；
過點N作NE∥PC交BC于E，則E為BC的中點，連接AE，
∵PC⊥平面ABCD，
∴NE⊥平面ABCD，
∴∠NAE為AN與平面ABCD所成的角．
在Rt△NEA中，
∵NE=$\frac{1}{2}$PC=1，AE=$\sqrt{10}$
∴tan∠NAE=$\frac{NE}{AE}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴AN與平面ABCD所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查AN與平面ABCD所成的角的正切值，是綜合性題目．