Question

4．已知函數(shù)f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，求證：
（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)$\frac{1}{2x}$的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f（-x）=-f（x）恒成立，故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 
（2）求導(dǎo)，根據(jù)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0恒成立，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$的定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f（-x）=-（-x）-$\frac{1}{2x}$=-（-x+$\frac{1}{2x}$）=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 
（2）∵函數(shù)f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
f′（x）＜0恒成立，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．