Question

18．現(xiàn)有5個(gè)學(xué)生報(bào)名參加曲藝，武術(shù)，京劇這3個(gè)社團(tuán)，其中每名學(xué)生限報(bào)一個(gè)社團(tuán)．
（1）若每個(gè)社團(tuán)都至少有一名同學(xué)參加，共有多少種報(bào)名方法？
（2）若武術(shù)社團(tuán)至少有1名同學(xué)參加，共有多少種報(bào)名方法？

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知，把5個(gè)學(xué)生分成（3，1，1）和（2，2，1）兩組，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，
（2）武術(shù)社團(tuán)至少有1名同學(xué)參加，分為五類，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，

解答 解：（1）把5個(gè)學(xué)生分成（3，1，1）和（2，2，1）兩組，
當(dāng)為（3，1，1）時(shí)，有C₅³A₃³=60種，
當(dāng)為（2，2，1）時(shí)，有$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}}•{A}_{3}^{3}$=90種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可得每個(gè)社團(tuán)都至少有一名同學(xué)參加60+90=150種，
（2）武術(shù)社團(tuán)至少有1名同學(xué)參加，分為五類，
第一類，武術(shù)社團(tuán)有1名同學(xué)參加，先選1人參見武術(shù)社團(tuán)，剩下的4人，參加曲藝，京劇這兩個(gè)社團(tuán)，
故有C₅¹•2⁴=80種，
第二類，武術(shù)社團(tuán)有2名同學(xué)參加，先選2人參見武術(shù)社團(tuán)，剩下的3人，參加曲藝，京劇這兩個(gè)社團(tuán)，
故有C₅²•2³=80種，
第三類，武術(shù)社團(tuán)有3名同學(xué)參加，先選3人參見武術(shù)社團(tuán)，剩下的2人，參加曲藝，京劇這兩個(gè)社團(tuán)，
故有C₅³•2²=40種，
第四類，武術(shù)社團(tuán)有4名同學(xué)參加，先選4人參見武術(shù)社團(tuán)，剩下的1人，參加曲藝，京劇這兩個(gè)社團(tuán)，
故有C₅⁴•2¹=10種，
第五類，武術(shù)社團(tuán)有5名同學(xué)參加，有1種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有80+80+40+10+1=211種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分組分配和分類計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題．