Question

10．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°．平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是矩形，AF=a，點M在線段EF上．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）試問當(dāng)AM為何值時，AM∥平面BDE？證明你的結(jié)論．
（Ⅲ）求三棱錐A-BFD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)相關(guān)的線段長證得BC⊥AC，進一步利用平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是矩形，EC⊥BC
證得BC⊥平面ACEF，即可證明BC⊥AM；
（Ⅱ）以AM∥平面BDE為出發(fā)點，利用線線平行，證得結(jié)論；
（Ⅲ）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐A-BFD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：由題意知，梯形ABCD為等腰梯形，且AB=2a，$AC=\sqrt{3}a$，
由AB²+BC²=AC²，可知AC⊥BC．
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面ACEF．
又AM?平面ACEF，所以BC⊥AM．…5分
（Ⅱ）解：當(dāng)$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$ 時，$AM\parallel$ 平面BDE．
證明如下：當(dāng)$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$，可得$FM=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，故$EM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$
在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=N，連結(jié)EN，由已知可得CN：NA=1：2，所以$AN=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$．所以EM=AN．
又EM∥AN，所以四邊形ANEM為平行四邊形．
所以AM∥NE．
又NE?平面BDE，AM?平面BDE，所以$AM\parallel$ 平面BDE．
當(dāng)$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$ 時，$AM\parallel$ 平面BDE．…11分
（Ⅲ）解：由已知可得△ABD 的面積$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$，
故${V_{A-BFD}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}×AF×{S_{△ABD}}=\frac{1}{3}×a×\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{a^3}$．…14分

點評 本題考查的知識要點：線面垂直的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，線面平行的性質(zhì)定理，三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．