如圖，在△ABC中，已知點D是BC邊的三等分點且BD=
1
3
BC，過點D的直線分別交直線AB，AC于E，F(xiàn)兩點，若
AE
=λ
AB
（λ＞0），
AF
=μ
AC
（μ＞0），則λ+2μ的最小值為
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：導數(shù)的綜合應用,平面向量及應用
分析：由已知條件，
EB
=
ED
+
DB
=(1-λ)
AB
，而
ED
=-kλ
AB
+kμ
AC
，
DB
=
1
3
AB
-
1
3
AC
，所以得到(
1
3
-kλ)
AB
+(kμ-
1
3
)
AC
=(1-λ)
AB
．從而得到
1
3
-kλ=1-λ
kμ-
1
3
=0
，消去k并求得μ=
λ
3λ-2
，所以λ+2μ=λ+
2λ
3λ-2
，通過求導求關于λ的函數(shù)λ+
2λ
3λ-2
的最小值即可．
解答： 解：
EB
=
ED
+
DB
=(1-λ)
AB
；
E，D，F(xiàn)三點共線，∴存在實數(shù)k，使
ED
=k
EF
=k(
AF
-
AE
)=-kλ
AB
+kμ
AC
，
DB
=
1
3
CB
=
1
3
AB
-
1
3
AC
；
∴(
1
3
-kλ)
AB
+(kμ-
1
3
)
AC
=(1-λ)
AB
；
∴
1
3
-kλ=1-λ		①
kμ-
1
3
=0		②
；
由②得，k=
1
3μ
帶入①得，
1
3
-
λ
3μ
=1-λ；
∴μ=
λ
3λ-2
；
∴λ+2μ=λ+
2λ
3λ-2
；
設f（λ）=λ+
2λ
3λ-2
，λ＞0；
∴f′(λ)=
9λ2-12λ
(3λ-2)2
，令f′（λ）=0得，λ=0，或
4
3
；
∴λ∈(0，
4
3
)時，f′（λ）＜0，λ∈(
4
3
，+∞)時，f′（λ）＞0；
∴λ=
4
3
時，f（λ）取極小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值為
8
3
；
即λ+2μ的最小值為
8
3
．
故答案為：
8
3
．
點評：考查向量的加法、減法運算，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，通過求導求函數(shù)的最小值的方法及過程．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點P（-2，1）作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別與拋物線x2=4y交于A，B兩點，若直線AB與圓C：x2+（y-1）2=1交于不同兩點M，N，則|MN|的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．
（1）若關于x的不等式g（x）≥0的解集為[-5，-1]，求實數(shù)m的值；
（2）若f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=ax2-2a+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上頭最大值4和最小值1，設f（x）=
g(x)
x

（1求a，b的值
（2）若不等式f（2x）-k.2x≥0在x∈[-1，1]有解，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線3x2-y2=12的中心為O，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A．
（1）求雙曲線的實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程；
（2）設過A平行于y軸的直線交雙曲線的兩條漸近線分別于B，C，求四邊形F1COB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求曲線y=f（x）=
1
2
x2-3x+2lnx在（3，f（3））處切線的斜率及切線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設命題p：c2＜c和命題q：?x∈R，x2+4cx+1＞0，若p真q假，則實數(shù)c的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）根據(jù)下面的要求，求S=13+23+…+1023值．請完成執(zhí)行該問題的程序框圖．
（2）請運用更相減損術求459與357的最大公約數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0”，下列函數(shù)滿足這些條件的函數(shù)是（　�。�
A、f（x）=lnx
B、f（x）=x 
1
3
C、f（x）=ax（0＜a＜1）
D、f（x）=ax（a＞1）

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