20.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x-$\frac{1}{2}$(x∈R)
(1)當x∈[-$\frac{π}{12}$,$\frac{5π}{12}$]時,求函數(shù)f(x)取得最大值和最小值時x的值;
(2)設銳角△ABC的內角A、B、C的對應邊分別是a,b,c,且a=1,c∈N*,若向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,sinA)與向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(2,sinB)平行,求c的值.

分析 (1)函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x-$\frac{1}{2}$=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-1,當x∈[-$\frac{π}{12}$,$\frac{5π}{12}$]時,2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],進而得到函數(shù)f(x)取得最大值和最小值時x的值;
(2)向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,sinA)與向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(2,sinB)平行,即sinB-2sinA=0.由正弦定理得b=2a,再由余弦定理可得c的值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-1,
∴當x∈[-$\frac{π}{12}$,$\frac{5π}{12}$]時,2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],
∴2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$即x=-$\frac{π}{12}$時,f(x)最小,最小值是-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$,
2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{3}$時,f(x)最大,最大值是0.
(2)∵向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,sinA)與向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(2,sinB)平行,
∴sinB-2sinA=0.
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$,得 b=2a,
∵a=1故b=2,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=5-4cosC∈(1,5),
又由c∈N*,故c=2.

點評 本題考查的知識點是正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)的最值,向量平行,難度中檔.

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