Question

1．如圖，在三角形ABC中，AB=x，BC=1，O是AC的中點(diǎn)，∠BOC=45°，記點(diǎn)C到AB的距離為h（x）．
（1）求h（x）的表達(dá)式，并注明x的取值范圍；
（2）求h（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)OB=a，OA=OC=b，利用根據(jù)余弦定理計(jì)算可知4abcos45°=x²-1，通過三角形面積公式計(jì)算可知h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$，利用基本不等式計(jì)算可知1＜x≤$\sqrt{2}$+1；
（2）通過（1）求導(dǎo)可知h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$在區(qū)間（1，$\sqrt{2}$+1]上單調(diào)遞增，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）作CE垂直AB，OD垂直AB，
設(shè)OB=a，OA=OC=b，由根據(jù)余弦定理有：
a²+b²-2abcos45°=1，a²+b²+2abcos45°=x²，
兩式相減得到：4abcos45°=x²-1，
∵S_△AOB=S_△COB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$absin45°=$\frac{1}{2}$•$\frac{x}{2}$•h（x），即h（x）=$\frac{2}{x}$absin45°，
消去a、b后得到：h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$，
一方面顯然x²-1＞0，即x＞1，
另一方面，a²+b²≥2ab，即$\frac{{x}^{2}+1}{2}$≥2•$\frac{{x}^{2}-1}{2\sqrt{2}}$，
綜上所述，1＜x≤$\sqrt{2}$+1；
（2）由（1）可知，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$=$\frac{2x•2x-2（{x}^{2}-1）}{（2x）^{2}}$=$\frac{1+2{x}^{2}}{4{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$在區(qū)間（1，$\sqrt{2}$+1]上單調(diào)遞增，
∴h_max（x）=$\frac{（\sqrt{2}+1）^{2}-1}{2（\sqrt{2}+1）}$=1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，涉及考查余弦定理的運(yùn)用、三角形面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．